這些由非常簡單的方程定的曲線籠罩在神秘和優(yōu)雅中。事實上，描述它們的程非常簡單，即使是高中也能理解。然而，盡管世上一些最偉大的數(shù)學(xué)家做了不懈的努力，仍有大量于它們的簡單問題尚未解。但這還不是全部。正如很快就會看到的，這個理連接了數(shù)學(xué)的各個重要領(lǐng)，因為橢圓曲線不僅僅是面曲線。一個古老的問題數(shù)學(xué)中，一些幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，反之亦。例如，看一下幾千年前一個經(jīng)典問題，正整數(shù) n 是否等于某個邊長是有理數(shù)的直角三角形的面積。這種情況下，n 被稱為同余數(shù)。例如，6 是一個同余數(shù)，因為它是邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費馬的證明之后證明某個數(shù)是（或不是）余數(shù)的研究就一直在進(jìn)行令人驚奇的是，我們可以初等方法證明對于每一組理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有我們可以找到兩個有數(shù) x 和 y，使得反過來，對于每個有理數(shù)對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個有理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當(dāng) y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對應(yīng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。數(shù)學(xué)家會說這兩個集合之間在雙射。因此，當(dāng)且僅當(dāng)程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如，由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應(yīng)如下，如果我們在鯀長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對應(yīng)關(guān)，那么對應(yīng)的解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個從數(shù)論和幾何的問題開始通過代數(shù)，把它轉(zhuǎn)化成一關(guān)于平面曲線上有理點的題！橢圓曲線一般來說，果 f (x) 表示具有非零判別式的三次多項式即所有的根都是不同的）那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，除了“無窮遠(yuǎn)點”（即圓曲線上點在加法運算下成的群中的單位元）?，F(xiàn)，通過一個小小的代數(shù)技，我們可以對坐標(biāo)進(jìn)行適的（有理）改變，并得到條形式為的新曲線，使得條曲線上的有理數(shù)點一一應(yīng)。從現(xiàn)在開始，當(dāng)我們“橢圓曲線”時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠(yuǎn)處的一點??。此外我們假定系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有兩種典型的形驩疏，如下圖所。維基百科然而，如果我把 x 和 y 看作復(fù)變量，曲線看起來就完全不了。它們看起來像是甜甜。那么我們?yōu)槭裁匆芯?圓曲線，我們可以用它們什么呢？首先，許多數(shù)論題可以轉(zhuǎn)化為丟番圖方程問題，其次，橢圓曲線與稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關(guān)，并與一些非詩經(jīng)重要的被稱模形式的對象密切相關(guān)，些對象是一些極其對稱的函數(shù)，其中包含大量的數(shù)信息。實際上，橢圓曲線模形式之間的聯(lián)系是證明馬大定理的關(guān)鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀(jì) 90 年代通過幾年的努力實現(xiàn)了建立了這種聯(lián)系儀禮從證明了費馬大定理。在密學(xué)中，橢圓曲線也被用于密信息和在線交易。然而它們最重要的特征是一個人興奮的事實，即它們不僅是曲線和幾何。事實上它們有一個代數(shù)結(jié)構(gòu)叫做貝爾群結(jié)構(gòu)，這是一種幾運算（規(guī)則），用來把曲上的點相加。對于阿貝爾，你可以把它想象成一組象，對它們進(jìn)行運算，使它們具有與整數(shù)在加法方相同的結(jié)構(gòu)（除了它們可是有限的）。阿貝爾群的子有：關(guān)于加法運算的整?。將正方形順時針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量為元素，向量加法為運算的量空間。橢圓曲線的神奇處在于，我們可以在橢圓線上的有理數(shù)點（也就是，x 和 y 坐標(biāo)都是有理數(shù)）之間定義一個運算稱它為“⊕”），這樣曲上這些點的集合就變成了個關(guān)于運算“⊕”和單位素??（無窮遠(yuǎn)處的點）的貝爾群。讓我們定義這個算。如果你在曲線上取兩有理點（例如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過它們直線，那么這條直線與曲相交于另一個有理點（可是無窮遠(yuǎn)處的點）。我們這個點為-R?，F(xiàn)在，因為曲線是關(guān)于 x 軸對稱的，我們得到另一個有危點 R。這個反射點（上圖中的 R）是前面提到的兩個點（P 和 Q）的相加。我們可以寫成可以證明，這運算是滿足結(jié)合律，這真很令人驚訝。此外，無窮處的點作為這個運算的（一）恒等式，每個點都有個逆點。巨大的謎團(tuán)事實明，兩條不同的橢圓曲線以有截然不同的群。一個要的不變量，在某種意義是最具定義性的特征，就所謂的曲線（或群）的秩一條曲線上可以有有限個理點，也可以有無限個有點。我們感興趣的是，需多少點才能根據(jù)前面提到加法規(guī)則生成所有其他的。這些生成器被稱為基點秩是一種維數(shù)度量，就像量空間的維數(shù)一樣，表示多少獨立的基點（在曲線）具有無限階。如果曲線只包含有限數(shù)量的有理點那么秩為零。仍然有一個，但它是有限的。計算橢曲線的秩是出了名的困難但莫德爾告訴我們橢圓曲的秩總是有限的。也就是，我們只需要有限數(shù)量的點就可以生成曲線上的所有理點。數(shù)論中最重要和有趣的問題之一被稱為波和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于橢圓曲線的秩。事實上，它如此的困難和重要，以至它成了千禧年難題之一。具有有理數(shù)系數(shù)的橢圓曲上尋找有理點是困難的。種方法是通過對曲線 p 進(jìn)行模數(shù)化簡，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮同余的理解集，為了使它有意義我們可能必須通過在兩邊以整數(shù)來消去分母。所以們考慮的是兩個數(shù)，當(dāng)除 p 時余數(shù)相同，在這個新空間中相等。這樣玃如的處是，現(xiàn)在只有有限數(shù)量東西需要檢查。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個。在 20 世紀(jì) 60 年代早期，戴爾在劍橋大計算機(jī)實驗室使用 EDSAC-2 計算機(jī)來計算在已知秩的橢圓曲鬿雀上取 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學(xué)家布萊恩?約翰?伯奇一起研了橢圓曲線，并在計算機(jī)理了一堆下面形式的橢圓線之后對于 x 的增長，他們從與曲線 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。我應(yīng)該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜率似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當(dāng)他們嘗試不同秩的曲線時，每都發(fā)現(xiàn)了相同的模式。擬的回歸線的斜率似乎總是于曲線的秩。更準(zhǔn)確地說他們提出了大膽的猜想這 C 是某個常數(shù)。這種計算機(jī)運算加上極大的遠(yuǎn)見使他們對曲線的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般性猜想。個 L 函數(shù)定義如下。讓令曲線的判別式記為 Δ。然后我們可以定義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它看做復(fù)變 s 的函數(shù)。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設(shè) E 為?上的任意橢圓曲線。曲線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之所以說它有遠(yuǎn)見是因為，在當(dāng)時，們甚至不知道是否所有這的 L 函數(shù)都存在所謂的解析延拓。問題是，囂面義的 L (E, s) 僅當(dāng) Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德魯?思女爾證明的與模形式的密切聯(lián)。有時這個猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開來表示的但它是用不同的方式來表同樣的事情。有理數(shù)的領(lǐng)可以被更一般的領(lǐng)域所取。橢圓曲線的是一場數(shù)論抽象代數(shù)和幾何之間的美舞蹈。關(guān)于它們，除了我這里描述的，還有很多可的，我希望你能感受到或到一些令人震驚的東西。文來自微信公眾號：老胡科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
